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高等数学（一）

00020

6

高等数学（一）自学考试大纲

高等数学（一）

扈志明

高等教育出版社

2013年版

 注：本目录内的课程学分含实践性环节学分。

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第一章函数

1.考核的知识点

（1）一元函数的概念及其图形.

（2）函数的表示法（包括分段函数）.

（3）函数的几个基本特性.

（4）反函数及其图形.

（5）复合函数.

（6）初等函数.

2.自学要求

函数是数学中最基本的概念之一，它反映变量之间的某种对应关系，是微积分的主要研究对象.

本章总的要求是：掌握一元函数的概念及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示法；理解函数的几个基本特性；了解反函数的概念及函数与其反函数图形之间的关系；掌握函数的复合与分解；掌握基本初等函数及其图形的性态；了解初等函数的概念；了解几种常见的经济函数.

本章重点：函数的概念和基本初等函数.

本章难点：函数的复合.

3.考核要求

（1）一元函数的定义及其图形，要求达到“领会”层次.

①清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素——定义域和对应法则，知道什么是函数的值域.

②清楚函数及其图形之间的关系.

③会求简单函数的自然定义域.

（2）函数的表示法，要求达到“识记”层次.

①知道函数的三种表示法——解析法、表格法、图像法.

②清楚分段函数的概念.

（3）函数的几个基本特性，要求达到“简单应用”层次.

清楚函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，并会判定简单函数是否具有这些特性.

（4）反函数及其图形，要求达到“领会”层次.

①知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数.

②会求简单函数的反函数.

③知道函数与其反函数的定义域、值域和图形之间的关系.

（5）复合函数，要求达到“简单应用”层次.

①清楚复合函数运算的含义，会求简单复合函数的定义域.

②会做几个函数按一定顺序的复合，并会把一个函数分解成简单函数的复合.

（6）初等函数，要求达到“简单应用”层次.

①知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形（不含余切、正割、余割及其反函数的图形）.

②知道反正弦、反余弦和反正切函数的主值范围.

③知道初等函数的概念.

（7）经济学中几种常见的函数，要求达到“简单应用”层次.

了解经济学中几种常见的函数：成本函数，收益函数，利润函数，需求函数和供给函数.

第二章极限和连续

1.考核的知识点

（1）函数极限.

（2）函数极限的性质.

（3）极限的运算法则.

（4）两个重要极限.

（5）无穷小量及其性质、无穷大量.

（6）无穷小量的比较.

（7）函数的连续性和连续函数的运算.

（8）函数的间断点.

（9）闭区间上连续函数的性质.

2.自学要求

极限理论是微积分学的基础，微积分中的基本概念都是运用极限的思想与方法阐述的.连续函数是应用最为广泛的函数.学好本章内容将为以后的学习打下坚实的基础.

本章总的要求是：理解函数极限的概念；理解极限的简单性质；掌握极限的运算法则；熟练掌握两个重要极限；理解无穷小量的概念；掌握无穷小量的基本性质；清楚无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；理解无穷小量的阶的比较；理解函数的连续性和间断点；知道初等函数的连续性；清楚闭区间上连续函数的性质.

本章重点：极限的概念和性质，极限的运算法则，两个重要极限，无穷小量的概念及其阶的比较，函数的连续性和闭区间上连续函数的性质.

本章难点：极限概念.

3.考核要求

（1）函数极限，要求达到“领会”层次.

①理解函数极限的定义（不要求，描述）.

②理解函数的单侧极限，知道函数极限与单侧极限之间的关系.

（2）极限的性质，要求达到“识记”层次.

①清楚极限的唯一性.

②清楚有极限的函数的局部有界性.

③清楚极限的保号性.

（3）极限的运算法则，要求达到“简单应用”层次.

①熟知极限的四则运算法则，并能熟练运用.

②清楚复合函数的极限.

（4）两个重要极限，要求达到“综合应用”层次.

熟知两个重要极限，并能熟练运用.

（5）无穷小量及其性质、无穷大量，要求达到“简单应用”层次.

①理解无穷小量的定义并熟知其性质.

②清楚无穷大量的定义及其与无穷小量之间的关系.

③会判别一个简单变量是否是无穷小量或无穷大量.

（6）无穷小量的比较，要求达到“简单应用”层次.

①清楚一个无穷小量相对于另一个无穷小量是高阶、同阶、等价的含义.

②会判别两个无穷小量的阶的高低或是否等价.

③极限运算中乘除因子会用等价无穷小量代替.

（7）函数的连续性和连续函数的运算，要求达到“简单应用”层次.

①清楚函数在一点处连续和单侧连续的定义，并知道它们之间的关系.

②会判别分段函数在分段点处的连续性.

③知道函数在区间上连续的定义.

④知道连续函数经四则运算和复合运算仍是连续函数.

⑤知道单调的连续函数必有单调并连续的反函数.

⑥知道初等函数的连续性.

（8）函数的间断点，要求达到“简单应用”层次.

①清楚函数在一点间断的含义和产生间断的几种情况.

②会找简单函数的间断点.

（9）闭区间上连续函数的性质，要求达到“识记”层次.

①知道闭区间上的连续函数必有界并有最大值和最小值.

②知道连续函数的介值定理和零点存在定理.

③会用零点存在定理判断简单的函数方程在给定区间上实根的存在性.

第三章导数与微分

1.考核的知识点

（1）导数的定义及其几何意义.

（2）函数可导与连续的关系.

（3）微分定义、微分与导数的关系.

（4）函数的求导法则.

（5）基本初等函数的导数.

（6）高阶导数.

2.自学要求

函数在一点处的导数和微分是微分学中两个最重要的概念.它们的产生是由于广泛而迫切的实际需要（如求曲线的切线、运动物体的瞬时速度等），在科学和工程技术中有极为广泛的应用.导数也是研究函数性质的有效工具.

本章总的要求是：理解导数和微分的定义，清楚它们之间的关系；知道导数的几何意义；知道平面曲线的切线方程与法线方程的求法；理解函数可导与连续之间的关系；熟练掌握函数和、差、积、商的求导法则与复合函数的链式求导法则；会求反函数的导数；熟记基本初等函数的求导公式；会求简单隐函数的导数；会用对数求导法；会求函数的高阶导数.

本章重点：导数的概念及其几何意义和作为变化率的实际意义，各种求导法则和基本初等函数的导数及微分公式.

本章难点：复合函数的求导法则，隐函数求导法.

3.考核要求

（1）导数的定义及其几何意义，要求达到“领会”层次.

①熟知函数在一点处的导数和左、右导数的定义及它们的关系.

②知道函数在一点处的导数的几何意义，并会求曲线在一点的切线方程和法线方程.

③知道导数作为变化率在物理中可以表示做直线运动物体的瞬时速度.

④知道函数在.区间上可导的含义.

（2）函数可导与连续的关系，要求达到“领会”层次.

清楚函数在一点处连续是函数在一点处可导的必要条件.

（3）微分的定义和微分的运算，要求达到“领会”层次.

①理解微分作为函数增量的线性主部的含义.

②清楚函数可微与可导的关系.

③熟知函数的微分与导数的关系.

（4）函数的各种求导法则，要求达到“综合应用”层次.

①熟练掌握可导函数和、差、积、商的求导法则.

②准确理解复合函数的求导法则（链式法则），并能在计算中熟练运用.

③清楚反函数的求导法则.

④会求简单隐函数的导数.

⑤对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数，会用取对数求导的方法计算其导数.

（5）基本初等函数的导数，要求达到“综合应用”层次.

熟记基本初等函数的求导公式，并能熟练运用.

（6）高阶导数，要求达到“简单应用”层次.

清楚高阶导数的定义，会求函数的二阶导数.

第四章微分中值定理和导数的应用

1.考核的知识点

（1）微分中值定理.

（2）洛必达法则.

（3）函数单调性的判定.

（4）函数的极值及其求法.

（5）函数的最值及其应用.

（6）曲线的凹凸性和拐点.

（7）曲线的渐近线.

（8）导数在经济分析中的应用.

2.自学要求

本章主要介绍导数在研究函数性态和有关实际问题中的应用，这些应用的理论基础是微分

中值定理.

本章总的要求是：能准确陈述微分中值定理；熟练掌握洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数极值的概念，掌握函数极值的求法；清楚函数的最值及其求法，并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用二阶导数判定曲线的凹凸性和计算拐点的坐标；会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线；理解函数的边际函数与弹性函数及其意义.

本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用.

本章难点：函数最值的应用，弹性函数.

3.考核要求

（1）微分中值定理，要求达到“领会”层次.

①能准确陈述罗尔定理，并清楚其几何意义.

②能准确陈述拉格朗日微分中值定理，并清楚其几何意义.

③知道导数恒等于零的函数必为常数，导数处处相等的两个函数只能相差一个常数.

（2）洛必达法则，要求达到“综合应用”层次.

①准确理解洛必达法则.

②能识别各种类型的未定式，并会运用洛必达法则求极限.

（3）函数单调性的判定，要求达到“简单应用”层次.

①清楚导数的符号与函数单调性之间的关系.

②会判别函数在给定区间上的单调性，并会求函数的单调区间.

③会用函数的单调性证明简单的不等式.

（4）函数的极值及其求法，要求达到“综合应用”层次.

①清楚函数极值的定义，知道这是函数的一种局部性态.

②知道什么叫函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点之间的关系.

③掌握函数在一点取极值的两种判别法，并会求函数的极值.

（5）函数的最值及其应用，要求达到“综合应用”层次.

①知道函数最值的定义及其与极值的区别.

②清楚最值的求法.

③能用最值解决简单的应用问题.

（6）曲线的凹凸性和拐点，要求达到“简单应用”层次.

①清楚曲线在给定区间上“凹”、“凸”的定义.

②会判别曲线在给定区间上的凹凸性和求出曲线的凹凸区间.

③知道曲线拐点的定义，会求曲线的拐点或判定一个点是否是拐点.

（7）曲线的渐近线，要求达到“领会”层次.

知道曲线的水平渐近线和铅直渐近线的定义，会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线.

（8）经济学中的边际函数和弹性函数，要求达到“简单应用”层次.

①清楚边际函数的概念及其实际意义.

②清楚弹性函数的概念，会求经济函数的弹性，并说明其实际意义.

第五章一元函数积分学

1.考核的知识点

（1）原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质.

（2）基本积分公式.

（3）不定积分的换元积分法.

（4）不定积分的分部积分法.

（5）微分方程初步.

（6）定积分的概念及其基本性质.

（7）变上限积分和牛顿一莱布尼茨公式.

（8）定积分的换元积分法和分部积分法.

（9）无穷限反常积分.

（10）定积分的简单应用.

2.自学要求

一元函数积分学是微积分的重要内容之一.求原函数的运算可看成是微分的逆运算，属于微分学的范畴.定积分的出现则源于求曲边图形的面积和求运动物体的行走路程等实际问题，积分学的思想与方法有着十分广泛的应用.微分方程是刻画许多实际问题中变量之间相互关系的主要方式，其理论和方法是与微积分同时发展起来的，具有广泛的实际应用.

本章总的要求是：理解原函数和不定积分的概念；清楚定积分的概念及其几何意义；熟悉不定积分和定积分的基本性质；理解变上限积分函数的求导公式；掌握牛顿一莱布尼茨公式熟记基本积分公式；掌握不定积分和定积分的换元积分法、分部积分法；掌握微分方程的基本概念，并能求解可分离变量微分方程和一阶线性微分方程；清楚无穷限反常积分的概念，并会依据定义判别简单反常积分是否收敛；会用定积分解决简单的几何问题.

本章重点：不定积分的概念，不定积分的运算，定积分的概念和性质，变上限积分求导公式和牛顿一莱布尼茨公式，定积分的应用.

本章难点：求不定积分，定积分的应用.

3.考核要求

（1）原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，要求达到“领会”层次.

①了解原函数和不定积分的定义.

②理解微分运算和不定积分运算互为逆运算.

③知道不定积分的基本性质.

（2）基本积分公式，要求达到“简单应用”层次.

熟记基本积分公式，并能熟练运用.

（3）不定积分的换元积分法，要求达到“简单应用”层次.

①能熟练地运用第一类换元积分法（即凑微分法）求不定积分.

②掌握几种常见的第二类换元类型.

（4）不定积分的分部积分法，要求达到“简单应用”层次.

掌握分部积分法，会求常见类型的不定积分.

（5）微分方程初步，要求达到“简单应用”层次.

①知道微分方程的阶、解、初始条件、特解的含义.

②能识别可分离变量微分方程和一阶线性微分方程，并会求这两类微分方程的解.

（6）定积分的概念及其基本性质，要求达到“领会”层次.

①理解定积分的概念，并了解其几何意义.

②清楚定积分与不定积分的区别，知道定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的记号无关.

③知道定积分的基本性质.

④能正确叙述定积分的中值定理，了解其几何意义.

（7）变上限积分和牛顿—莱布尼茨公式，要求达到“综合应用”层次.

①理解变上限积分是积分上限的函数，并会求其导数.

②掌握牛顿—莱布尼茨公式.

（8）定积分的换元积分法和分部积分法，要求达到“简单应用”层次.

①掌握定积分的第一换元积分法和第二换元积分法.

②清楚对称区间上奇函数或偶函数的定积分的有关结果.

③掌握定积分的分部积分法.

（9）无穷限反常积分，要求达到“领会”层次.

①清楚无穷限反常积分的定义及其敛散性概念.

②会依据定义判断简单无穷限反常积分的敛散性，并在收敛时求出其值.

（10）定积分的几何应用，要求达到“简单应用”层次.

①会在直角坐标系中利用定积分计算平面图形的面积.

②会利用定积分计算简单平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积.

第六章多元函数微积分

1.考核的知识点

（1）多元函数的概念.

（2）偏导数和全微分.

（3）复合函数的求导法则.

（4）隐函数及其求导法则.

（5）二阶偏导数.

（6）二元函数的极值及其求法.

（7）二重积分的概念和计算.

2.自学要求

多元函数微积分是一元函数微积分的自然发展，它的许多重要概念和处理问题的思想、方法与一元函数微积分的情形十分相似.但随着自变量的增多，多元函数与一元函数也有一些本质的差别，这是学习多元微积分时需要特别注意的.由于实际问题中常常会涉及多个变量，所以多元函数微积分有着更加广泛的应用.

本章总的要求是：理解二元函数的概念和二元函数的几何意义；清楚偏导数和全微分的定义；了解二阶偏导数的定义；了解二阶混合偏导数的值与求导次序无关的条件；掌握复合函数和隐函数的求导法则；理解二元函数极值的概念，掌握二元函数极值的求法；理解二重积分的定义及其几何意义；掌握二重积分的计算方法.

本章重点：偏导数和全微分的概念及其计算，复合函数求导法则，二重积分的计算.

本章难点：复合函数求导，二重积分的计算.

3.考核要求

（1）多元函数的概念，要求达到“领会”层次.

①知道二元函数的定义及二元函数的几何意义.

②会求简单二元函数的定义区域.

（2）偏导数和全微分，要求达到“简单应用”层次.

①清楚偏导数的定义及其与一元函数导数的关系.

②清楚全微分及多元函数可微的定义.

③清楚全微分与偏导数的关系及函数可微的充分条件.

（3）复合函数的求导法则，要求达到“简单应用”层次.

掌握以下三种类型的复合函数的求导法则：

（4）隐函数及其求导法则，要求达到“简单应用”层次.

了解隐函数的概念，掌握由一个函数方程所确定的一元隐函数或二元隐函数的求导法则.

（5）二阶偏导数，要求达到“简单应用”层次.

①知道二阶偏导数的定义，会计算初等函数的二阶偏导数.

②知道二阶混合偏导数的值与求导次序无关的条件.

（6）二元函数的极值及其求法，要求达到“简单应用”层次.

①清楚二元函数极值的定义.

②清楚极值点和驻点的关系，知道二元函数取极值的充分条件.

③会求函数的极值，并会解决简单的应用问题.

（7）二重积分的概念和计算，要求达到“简单应用”层次.

①清楚二重积分的定义及其几何意义.

②了解二重积分的基本性质.

③会在直角坐标系下计算二重积分（不要求会交换二次积分的积分次序）.

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